23rd January 2024, 7 min read

Matrixpolynome

Original post is here eklausmeier.goip.de/blog/2024/01-23-matrixpolynome.

Matrixpolynome (oder gelegentlich auch $λ$ -Matrizen genannt) sind Polynome, bei denen die Koeffizienten Matrizen sind, quadratisch oder rechteckig, dies ist vorerst gleichgültig. Also

L (λ) = A_{ℓ} λ^{ℓ} + A_{ℓ - 1} λ^{ℓ - 1} + \dots + A_{1} λ + A_{0}, A_{ℓ}, A_{ℓ - 1}, \dots, A_{1}, A_{0} \in C^{m \times n} .

Für den Fall $ℓ = 1$ gilt häufig $L (λ) = I λ - A$ .

1. Vektorräume und lineare Abbildungen

1. Definition: (1) Ein Vektor $a_{1}$ heißt linear-abhängig von den Vektoren $a_{2}, \dots, a_{n}$ genau dann, wenn $a_{1}$ lineares Komposituum dieser $(n - 1)$ Vektoren ist, also

a_{1} = λ_{2} a_{2} + \dots + λ_{n} a_{n}, λ_{2}, \dots, λ_{n} \in C .

In Zeichen: $a_{1} \underset{―}{⊥} (a_{2}, \dots, a_{n})$ . Die $n$ Vektoren $a_{1}, \dots, a_{n}$ heißen dann ebenfalls linear-abhängig, in Zeichen $\underset{―}{⊥} (a_{1}, \dots, a_{n})$ .

(2) $a_{1}$ ist von $a_{2}, \dots, a_{n}$ linear-unabhängig genau dann, wenn $a_{1}$ von $a_{2}, \dots, a_{n}$ nicht linear-abhängig ist, also $a_{1}$ nicht als lineares Komposituum der anderen $(n - 1)$ Vektoren darstellbar ist. In Zeichen $a_{1} \underset{―}{⊥̸} (a_{2}, \dots, a_{n})$ .

(3) Ist $a_{1} \underset{―}{⊥̸} a_{2}, \dots, a_{n}$ linear-unabhängig, $a_{2} \underset{―}{⊥̸} a_{1}, a_{3}, \dots, a_{n}$ , $\dots$ , $a_{n} \underset{―}{⊥̸} a_{1}, \dots, a_{n - 1}$ , so heißt die Vektorfamilie $(a_{1}, \dots, a_{n})$ linear-unabhängig (schlechthin), in Zeichen $\underset{―}{⊥̸} (a_{1}, \dots, a_{n})$ .

Ist $a_{1}$ von $a_{2}, \dots, a_{n}$ linear-abhängig, so ist $a_{1}$ in gewisser Hinsicht überflüssig, da $a_{1}$ ja aus den anderen Vektoren zusammengesetzt werden kann. Liegen $a_{2}, \dots, a_{n}$ in einer Ebene, so liegt damit natürlich auch $a_{1}$ in der gleichen Ebene. Man beachte, daß eine (zweistellige) Relation zwischen einem Vektor und $(n - 1)$ anderen Vektoren definiert wurde und eine Eigenschaft zwischen $n$ Vektoren, also eine $n$ -stellige Relation.

2. Definition und Eigenschaften von Standard-Tripeln

Gegeben sei das monische Matrixpolynom

L (λ) = \sum_{i = 0}^{ℓ} A_{i} λ^{i}, A_{ℓ} = I, A_{i} \in C^{n \times n} .

Die Vektorfamilie $x_{0}, \dots, x_{k}$ , mit $x_{0} \neq 0$ , $x_{i} \in C^{n \times 1}$ , heißt rechte Jordan-Kette (oder auch rechte Keldysh-Kette), Keldysh, M.V., der Länge $(k + 1)$ für das Matrixpolynom $L (λ)$ zum Eigenwert $λ_{0}$ genau dann, wenn

(\begin{matrix} L (λ_{0}) & 0 \\ L^{'} (λ_{0}) & L (λ_{0}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ \frac{1}{k!} L^{(k)} (λ_{0}) & \frac{1}{(k - 1)!} L^{(k - 1)} (λ_{0}) & \dots & L (λ_{0}) \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{0} \\ x_{1} \\ ⋮ \\ x_{k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) .

Die hierbei links auftretende Matrix $P$ ist natürlich nicht invertierbar, weil $L (λ_{0})$ nicht invertierbar ist.

Die Vektorfamilie $y_{0}, \dots, y_{k}$ , mit $y_{0} \neq 0^{⊤}$ , $y_{i} \in C^{1 \times n}$ , heißt linke Jordan-Kette der Länge $(k + 1)$ für das Matrixpolynom $L (λ)$ zum Eigenwert $λ_{0}$ genau dann, wenn

(y_{0}, \dots, y_{n}) \cdot P = (0^{⊤}, \dots, 0^{⊤}),

d.h. also, wenn $y_{0}^{⊤}, \dots, y_{k}^{⊤}$ eine rechte Jordan-Kette ist.

Das Paar von Matrizen von Matrizen $(X, T)$ , mit $X$ von der Größe $n \times n ℓ$ und $T$ der Größe $n ℓ \times n ℓ$ , heißt Standard-Paar genau dann, wenn gilt:

$col (X T^{i})_{i = 0}^{ℓ - 1}$ ist invertierbar,
$\sum_{i = 0}^{ℓ} A_{i} X T^{i} = 0$ .

Ist $T$ eine Jordan-Matrix, so heißt das Paar $(X, T)$ auch Jordan-Paar.

Das Matrizentripel $(X, T, Y)$ , mit $X$ der Größe $n \times n ℓ$ , $T$ der Größe $n ℓ \times n ℓ$ und $Y$ der Größe $n ℓ \times n$ , heißt Standard-Tripel des Matrixpolynoms $L (λ)$ genau dann, wenn gilt:

$(X, T)$ ist Standard-Paar,

Y = {(\begin{matrix} X \\ X T \\ ⋮ \\ X T^{ℓ - 1} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ I \end{matrix}) .

Ist $T$ wiederum eine Jordan-Matrix, so heißt $(X, T, Y)$ auch Jordan-Tripel.

Ist $(X, T, Y)$ Jordan-Tripel, dann sind die Spalten von $X$ rechte Jordanketten (Keldysh-Ketten), Keldysh, M.V., von $L (λ)$ , falls $X$ derart in Blöcke aufgespalten wird, sodaß diese konsistent mit der Unterteilung der Jordan-Matrix $J$ sind. Hierzu dual sind die Zeilen von $Y$ Links-Jordan-Ketten zu $L (λ)$ . Zusammenfassend entnimmt man die nötigen Dimensionen der Matrizen $X$ , $T$ und $Y$ dem Schema

(X, T, Y) : \begin{aligned} X : & n \times n ℓ \\ T : & n ℓ \times n ℓ \\ Y : & n ℓ \times n \end{aligned} \begin{aligned} X : & C^{n ℓ} \to C^{n} \\ T : & C^{n ℓ} \to C^{n ℓ} \\ Y : & C^{n} \to C^{n ℓ} \end{aligned} \begin{aligned} X : & R^{ℓ} \to R \\ T : & R^{ℓ} \to R^{ℓ} \\ Y : & R \to R^{ℓ} \end{aligned}

Ist $(X, T, Y)$ Standard-Tripel, so gilt

X T^{i} Y = {\begin{cases} 0, & für i = 0, \dots, ℓ - 2 \\ I, & für i = ℓ - 1 . \end{cases}

1. Äquivalente Charakterisierungen für Standard-Tripel. Es gelten die folgenden Eigenschaften. Das Matrizentripel $(X, T, Y)$ ist genau dann Standard-Tripel, wenn für die Inverse des Matrixpolynomes $L (λ)$ die Darstellung gilt

L^{- 1} (λ) = X (I λ - T)^{- 1} Y, λ \notin σ (L) .

$L^{- 1} (λ)$ kann man auffassen als Übertragungsfunktion des linearen Systems

\frac{d x}{d t} = T x + Y x, y = X x, x (0) = 0.

Weiterhin gilt

\frac{1}{2 π i} \int_{Γ} f (λ) L^{- 1} (λ) d λ = X f (T) Y,

wobei $Γ$ eine rektifizierbare Kurve ist, sodaß $σ (L)$ innerhalb von $Γ$ liegt, und $f$ ist eine holomorphe Funktion innerhalb von $Γ$ und innerhalb einer Umgebung von $Γ$ .

2. Linearisierungen. Das Matrixpolynom $I μ - A$ der Größe $(n + p) \times (n + p)$ ist eine Linearisierung des Matrixpolynomes $L (μ)$ der Größe $ℓ \times ℓ$ und des Grades $n$ genau dann, wenn

I μ - A \sim (\begin{matrix} L (μ) & 0 \\ 0 & I \end{matrix}) .

Zwei Matrixpolynome $M_{1} (μ)$ und $M_{2} (μ)$ sind äquivalent, also $M_{1} (μ) \sim M_{2} (μ)$ , genau dann, wenn

M_{1} (μ) = E (μ) M_{2} (μ) F (μ), \forall μ \in C,

mit Matrixpolynomen $E (μ)$ und $F (μ)$ , mit nicht verschwindender konstanter Determinante. Offensichtlich muß $n + p = n ℓ$ sein. Zwei Linearisierungen sind stets zueinander ähnlich. Jede zu einer Linearisierung ähnliche Matrix, ist ebenfalls eine Linearisierung. Nebenläufig sei darauf hingewiesen, daß bei quadratischen Matrizen, jede Matrix zu ihrer Transponierten ähnlich ist. Weiter gilt nun der

3. Satz: Ist eine Matrix $T \in C^{m \times m}$ gegeben, so ist $T$ genau dann eine Linearisierung eines monisches Matrixpolynoms vom Grade $ℓ$ und der Größe $n \times n$ , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$m = n ℓ$ und
$max_{λ \in C} \dim \ker (I λ - T) \leq n$ .

Den Beweis führt man auf den Smith'schen Normalformensatz zurück. Zum Beweise dieser und anderer hier relevanter Tatsachen, sei auf das Buch von Gohberg/Lancaster/Rodman (1982) hingewiesen, wo auch weiterführende Literaturstellen zu diesem Thema angegeben werden. Autoren sind Gohberg, Izrael' TSudikovich, Lancaster, Peter und Rodman, Leiba.

4. Matrixdifferenzengleichungen und Standard-Tripel. Bei linearen Mehrschrittverfahren der Form

α_{0} y_{n} + α_{1} y_{n + 1} + \dots + α_{k} y_{n + k} = h (β_{0} f_{n} + β_{1} f_{n + 1} + \dots + β_{k} f_{n + k}), α_{k} \neq 0,

tauchen in natürlicher Form skalare Differenzengleichungen auf. Bei zyklischen, linearen Verfahren, wie z.B. der Form

\begin{aligned} - 2 y_{3 m - 2} & + & 9 y_{3 m - 1} & - & 18 y_{3 m} & + & 11 y_{3 m + 1} & = & 6 h {\dot{y}}_{3 m + 1}, \\ - & 2 y_{3 m - 1} & + & 9 y_{3 m} & - & 18 y_{3 m + 1} & + & 11 y_{3 m + 2} & = & 6 h {\dot{y}}_{3 m + 2}, \\ 9 y_{3 m + 1} & - & 12 y_{3 m + 2} & + & 3 y_{3 m + 3} & = & h (- 4 {\dot{y}}_{3 m + 1} & - & 4 {\dot{y}}_{3 m + 2} + 2 {\dot{y}}_{3 m + 3}) . \end{aligned}

tauchen Matrixdifferenzengleichungen der Form

u_{ℓ + r} + A_{ℓ - 1} u_{ℓ - 1 + r} + \dots + A_{1} u_{1 + r} + A_{0} u_{r} = f_{r}, r = 0, 1, \dots

in ebenso natürlicher Weise auf. Gelegentlich ist es von Vorteil, eine Darstellung für die Lösung der Differenzengleichung zu haben, welche deutlich macht, wie sämtlich bisher berechneten Werte für nachfolgende Werte eingehen.

5. Satz: Es gilt für die Lösung der Matrixdifferenzengleichung

I u_{ℓ + r} + \sum_{i = 0}^{ℓ - 1} A_{i} u_{i + r} = f_{r}, r = 0, 1, \dots,

die Darstellung der Lösung zu

u_{m + 1} = X T^{m + 1} c + X \sum_{i = 0}^{m} T^{m - i} Y f_{i}, m = 0, 1, \dots,

wobei $(X, T, Y)$ Standard-Tripel ist zum Matrixpolynom

L (λ) = I λ^{ℓ} + \sum_{i = 0}^{ℓ - 1} A_{i} λ^{i} .

Der Vektor $c \in C^{n ℓ}$ ist durch Vorgabe der Startwerte

u_{r} = a_{r}, r = 0, \dots, ℓ - 1

eindeutig bestimmt und gegeben durch

c = (\begin{matrix} Y, & T Y, & \dots, & T^{ℓ - 1} Y \end{matrix}) (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & \dots & I \\ A_{2} & ⋮ & ⋰ & 0 \\ ⋮ & I & ⋮ \\ I & 0 & \dots & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ ⋮ \\ a_{ℓ - 1} \end{matrix}) = {({col}_{i = 0}^{ℓ - 1} X T^{i})}^{- 1} {col}_{ν = 0}^{ℓ - 1} a_{ν} .

Setzt man $R = {row}_{i = 0}^{ℓ - 1} T^{i} Y$ , $Q = {col}_{i = 0}^{ℓ - 1} X T^{i}$ , so ist $R B Q = I$ und $c = R B a = Q^{- 1} a$ .